麦教授 | 美好的不确定性(科学篇)

2021年3月20日 09:11
來源:香港奇点财经特邀专栏作者 张晓泉

作者介绍:张晓泉教授(Michael 麦教授)是香港中文大学商学院副院长和终身教授,担任香港深圳联合金融研究中心的主任,在经济学和管理学的多家顶级期刊发表多篇论文。他从美国麻省理工学院(MIT)的斯隆管理学院(Sloan School of Management)获得管理学博士学位,此前在清华大学获得管理学硕士,工学学士和文学学士的学位。 他曾经从事过的工作有:投资银行分析师,证券公司顾问, 目前运营一个A股量化私募基金。


1900年8月8日,德国数学家希尔伯特(David Hilbert )在巴黎第二届国际数学家大会上提出新世纪数学家应当解决的23个问题,给整个20世纪的数学研究指引了方向。希尔伯特本人被称为“数学界最后一个全才”,对数学的各个子分支都有程度不同的贡献(以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛,有些连希尔伯特本人都不知道。有一次希尔伯特问系里的同事:“请问一下,什么叫做希尔伯特空间?”)。他在1930年退休演讲中说了一句著名的话:我们必须知道,我们必将知道 (Wir müssen wissen, wir werden wissen.) 。

希尔伯特想为整个数学建立一个坚实的确定性的基础。在对平面几何学进行了严格的公理化之后,他制定了著名的希尔伯特计划,希望将整个数学体系严格公理化,然后用元数学,也就是可以证明数学的数学,来证明整个数学体系是坚实的。

这个计划很宏伟,如果成功的话,就可以由机器来代替人做数学的推导和证明了。希尔伯特的计划是先将所有的数学形式化,让每一个数学陈述都能用符号表示出来,让数学语言可以脱离自然语言的模糊性。第二步,证明数学是完备的,也就是说从公理里面可以推导出所有真的陈述。第三步,证明数学是自洽的,也就是说不会推出自相矛盾的陈述。最后,可以找到一个算法得到数学的可判定性,就是可以机械化地判定数学陈述的对错。

希尔伯特1930年退休时说的“we must know, we will know”就是在这样的背景下产生的。他认为假以时日,这个目标并不难实现,之后数学根基就很扎实,可以支持所有的其它学科,变成科学研究最坚实的基础,并且可以以此来建立自动推理体系,让机器代替人推理所有的数学定理。现代数学有非常多的分支,但是这些分支都有一个共同的基础,就是集合论(set theory)。在集合论之上才有分析和代数两个分支。包括量化金融赖以生存的概率论、实分析、线性代数、微积分、微分方程都可以归结到集合论的基础上。希尔伯特认为有了集合论这个基础,他的大一统计划一定可以实现。

然而,恰恰是集合论出了问题。

希尔伯特刚刚退休,答案就揭晓了。1931年,哥德尔(Kurt Gödel)发表了论文,证明了数学形式系统(formal system)中,不可能做到既完备(complete)又自洽(consistent)。也就是说,要么数学系统里面有自相矛盾,要么没有自相矛盾,但一定有些为真的陈述我们无法证明。哥德尔还证明了不能在算术体系内证明自洽性。

哥德尔的证明是建构在1903年罗素(Bertrand Russell)提出了一个悖论上的:如果一个集合由一切不是自身元素的集合所组成,那这个集合包含它自身吗?和苏格拉底悖论、罗素理发师悖论一样,这个悖论推导一步就出现了矛盾。

哥德尔的不完备定理给数学这个理应严谨的工具带来了巨大的危机,这个定理告诉我们“真”与“可证”是两个概念。可证的一定是真的,但真的不一定可证。希尔伯特试图建立数学大厦的构想完全破灭了。哥德尔之后,人们只能在巨大的不确定性的基础上使用数学,小心翼翼地希望数学的逻辑不要坏了,导致数学的结果失效。

哥德尔是爱因斯坦的好朋友,从1942年到1955年爱因斯坦去世,他们两个人常常一起散步。爱因斯坦曾对经济学家奥斯卡·摩根斯坦(Oskar Morgenstern)说,他每天到高等研究院来上班,就是为了和哥德尔一起散步回家。

爱因斯坦非常不喜欢不确定性,他1926年12月4日给玻恩(Born)的一封信里说过一句很著名的话:上帝不会掷骰子(God does not play dice with the universe)。意思是上帝会制定确定的物理定律,而不会用概率来生成任何规则。对此,物理学家波尔(Niels Bohr)回答到:请不要告诉上帝他什么可以做,什么不能做。这两位大师的对话不禁让人想起庄子和惠子的对话:

庄子与惠子游于濠梁之上。

庄子曰:“鲦(鲦:读音同“条”)鱼出游从容,是鱼之乐也。”

惠子曰:“子非鱼,安知鱼之乐?”

庄子曰:“子非吾,安知吾不知鱼之乐?”

但是那时物理里面已经出现了海森堡测不准原理,加上薛定谔(Erwin Schrödinger)基于概率分布的方程,有越来越多的研究把物理学指向了一个充满不确定性的未来。爱因斯坦和另外的两位同事(Boris Podolsky和Nathan Rosen)于是写了一篇著名的论文批评量子力学,这就是用三个人姓氏首字母命名的EPR佯谬。

这篇论文的本意是用反证法推导出矛盾,就是假设量子力学是对的,接着往下推导,最后希望得到荒谬的结论,从而证伪量子力学的模型。基于量子力学的假设,EPR的结论是,对两个纠缠态的粒子中的一个做观测,则它们就会从叠加态坍塌,另一个粒子也会坍塌,但是无论这两个粒子距离多远,坍塌是同时发生的。也就是说,这违背了爱因斯坦相对论中的光速是宇宙速度的极限。EPR把这种两个纠缠态粒子之间的信息传递叫做“幽灵般的远距效应”(spooky action at a distance)。

但是这个著名的EPR论文最后却提供了给量子力学最有用的证明之一,因为在几十年后,有实验物理学家证明了,这种“幽灵般的远距效应”确实是存在的。也就是说,虽然爱因斯坦他们写这篇论文的本意是挑战量子力学,但是论文却给出了一种验证量子力学的方法,最终是一系列的实验证明了EPR的结论是可以验证的,也就是说爱因斯坦想要的确定性并不存在,宇宙最终极的规则是随机性,上帝就是在掷骰子!

在这场世纪大论战中,无数物理学家加入了战队,波尔(Bohr)为首的哥本哈根学派这边有玻尔、海森堡、泡利(W. Pauli)、玻恩(M. Born)。而爱因斯坦这边有爱因斯坦、薛定谔、德布罗意(L. de Broglie)。他们在几次索尔维会议(Solvay Conference)中各自用尽浑身解数,让人类对微观世界的粒子有一次次的思维升级和飞跃。

就像泊松亮斑的本意和它最后的得到的结果正好相反一样,EPR徉谬也是一个很经典的出发点和结论相反的例子。另外一个“事与愿违”的例子就是薛定谔的猫了。它是本专栏中提到的另外一只科学神兽。薛定谔是爱因斯坦战队的成员,他提出薛定谔的猫这个思想实验的本意也是为了证明量子力学的理论有缺陷。

中文的量子这个词是从英文“quantum”意译过来的。因为中文的“量”可以是离散的,也可以是连续的,所以中国人看到“量子”这个词很难从中领会quantum说的离散的概念。对“量子”最直接的理解其实是我们能测量的最小的能量。在物理学里面,quantum是一个离散的能量的衡量,其大小与它所代表的辐射频率成正比。如果把能量想象成是一堆微小的能量颗粒组成的,量子指的就是最小的能量块。换句话说,在量子力学里,没有连续的概念,我们在宏观世界里习以为常的连续的时间和距离都有颗粒度,有最小的单位。

量子这个概念是普朗克(Max Planck)提出的。是能量的最小单位。和能量单位对应的,还有长度和时间等的最小单位。一个普朗克距离的定义是  米。一个普朗克单位时间是  秒。这两个单位都足够小,以至于讨论小于它们的单位都没有任何物理意义了。通俗的理解就是不会有比这些单位更小的量了。

由于我们后面会讨论对概率的更深层次的理解,所以这里对一只物理学神兽:薛定谔的猫,做一下更多的解读(麦教授在《「九章」问世:上帝掷的骰子有望打破量化的算力瓶颈?》这篇推送里也讲过)。

量子物理中认为微观粒子在没有被观测到的时候可以由波函数描述,符合一个概率分布,处于“叠加态(super-position)”。而一旦被观测,这个波函数就“坍塌”了,变成一个确定的值。

叠加态的意思是同一个粒子在没有观测的时候可以即是左旋的,也是右旋的。但是一旦对它做了测量,它就“坍塌”成了其中一种状态。薛定谔想把微观和宏观世界联系起来,他说可以想象一个盒子,里面有一只猫和一个处于叠加态的粒子,这个微观粒子会连接在一个探测器上,如果探测到左旋就什么都不会发生,如果探测到右旋就会打碎一个放了毒药的瓶子,猫就会被毒死。但是因为微观粒子在叠加态,就是说既左旋又右旋,于是毒药瓶子就是既被打破又没有被打破,于是猫就既是死了又是活着。

对于既是死了又是活着的理解很重要,它并不是说没有看的时候50%概率活着50%概率死了,而是说同时活着并且死了,因为两个状态“叠加”了。

薛定谔的猫这个思想实验试图把微观的量子力学里才有的“叠加态”映射到我们的宏观世界里来。一只既活着又死了的猫看上去是荒谬的,但是后来有了多重宇宙诠释,也许世界最基础的规则就是概率。

19世纪末到20世纪初这神奇的几十年开启了一个全新的时代,从绘画、音乐到物理和数学,各个领域都走出了对确定性的追求,之后人们不再满足于确定的结果,因为世界和宇宙本身就是不确定的。

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